首页
函数的单调性这些内容你都讲了吗？欢迎发表意见
函数的单调性与最值 第二课时
教学目标：
1. 使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用。
2. 启发学生学会分析问题，认识问题和创造性的解决问题。
3. 通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育。
新知探究
知识探究一
观察下列两个函数图像：
思考1：这两个函数图像有何共同特征：函数图像上最高点的纵坐标叫什么名称？
图像均有最高点，图像最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值。
思考2：高函数y=f(x)图像上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何？
对函数定义域内任意自变量x，均有f(x) M成立。
思考3：设函数f(x)=1- ,则f(x) 2成立吗？f(x)的最大值是2吗？为什么？
f(x) 2成立，但f(x)的最大值不是2,因为找不到一个自变量x.,使得f(x)=2成立
思考4：怎样定义函数f(x)的最大值？用什么符号表示？
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1） 对于任意的x I，都有f(x) M；
（2） 存在x I,使得f(x )=M.
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximum value）
思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？如果函数f(x)的值域是（a,b）,则函数f(x)存在最大值吗？
最大值是函数值域中的一个元素，函数图像上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图像上的点，因此若f(x)的值域是（a,b），则f(x)没有最大值。
知识探究二
观察下列两个函数图像：
思考1：这两个函数图像上各有一个最低点，函数图像上最低点的纵坐标叫什么名称？
函数图像上最低点的纵坐标称为函数的最小值。
思考2：仿照函数最大值的定义，怎样定义函数f(x)的最小值？
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（3） 对于任意的x I，都有f(x) M；
（4） 存在x I,使得f(x )=M.
那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimum value）
理论迁移
例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h米与时间t秒之间的关系为h(t )=-4.9t +14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1米）？
例2 已知函数f(x)= (x ［2,6］),求函数的最大值和最小值。
归纳基本初等函数的单调性及最值
1. 正比例函数：f(x)=kx(k 0)，当k 0时,f(x)在定义域R上为增函数；当k 0时,f(x)在定义域R上为减函数，在定义域R上不存在最值，在闭区间［a,b］上存在最值，当k 0时函数f(x)的最大值为f(b)=kb,最小值为f(a)=ka, 当k 0时, ,最大值为f(a)=ka，函数f(x)的最小值为f(b)=kb。
2. 反比例函数：f(x)= (k 0)，在定义域（- ，0） （0,+ ）上无单调性，也不存在最值。当k 0时，在（- ，0），（0,+ ）为减函数；当k 0时，在（- ，0），（0,+ ）为增函数。在闭区间［a,b］上，存在最值，当k 0时函数f(x)的最小值为f(b)= ,最大值为f(a)= , 当k 0时, 函数f(x)的最小值为f(a)= ，最大值为f(b)= 。
3. 一次函数：f(x)=kx+b(k 0),在定义域R上不存在最值，当k 0时，f(x)为R上的增，当k 0时，f(x)为R上的减函数，在闭区间［m,n］上，存在最值，当k 0时函数f(x)的最小值为f(m)=km+b,最大值为f(n)=kn+b, 当k 0时, 函数f(x)的最小值为f(n)=kn+b，最大值为f(m)=km+b。
4. 二次函数：f(x)=ax +bx+c,
当a 0时，f(x)在（- ,- ）为减函数，在（- ，+ ）为增函数，在定义域R上有最小值f( )= ,无最大值。
当a 0时，f(x)在（- ,- ）为增函数，在（- ，+ ）为减函数，在定义域R上有最大值f( )= ,无最小值。
二次函数是闭区间上的最值问题是高考考查重点和热点内容之一，我们将在后面的专题中具体讲解。
证明函数单调性作差中常用方法
例1 证明函数f(x)=x +x在R上是单调增函数。
配方法
例2 证明函数f（x）= - 在定义域上是减函数。
分子有理化
例3 讨论函数f(x)＝ 在x (-1,1)上的单调性，其中a为非零常数。
含字母参数时，要讨论参数范围
常用结论
例4 讨论函数f(x)= 的单调性。
总结：1.函数y=-f(x)与函数y=f(-x)的单调性相反。
2. .函数y=f(x)+c与函数y=f(x)的单调性相同。
3.当c 0时，函数y=cf(x)与函数y=f(x)的单调性相同，当c 0时，函数y=cf(x)与函数y=f(x)的单调性相反。
4.若f(x) 0,则函数f(x)与 具有相反的单调性。
5.若f(x) 0，则函数f(x)与 具有相同的单调性。
6.对于函数f(x)与g(x)可以总结为：
增+增＝增，增—减＝增，减+减＝减，减—增＝减
7.当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y=f［g(x)］是增函数；
当函数f(x)和g(x)的单调性相反时，复合函数y=f［g(x)］是减函数。
简称为口诀“同增异减”。
练习： 1．已知y=f(x)与y=g(x)均为增函数，判断下列函数在公共定义域内的单调性。
（1） y=-2f(x) （2） y=f(x)+2g(x)
2. 求函数y= + 的最小值。
抽象函数的单调性
没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，根据题目研究抽象函数的单调性，是一类重要的题型，证明抽象函数的单调性常用定义法；还有一类型的题目是利用抽象函数的单调性求参数范围。
例1 已知函数f(x)对任意x,y R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x 0时，f(x) 0,f(1)=-- ,.
(1) 求证f(x)在R上是减函数。
(2) 求f(x)在［-3，3］上的最大值和最小值。
例2 已知y=f(x)在定义域（-1,1）上是减函数，且f(1-a) f(a -1),求a的取值范围。
练习：
1. 定义域在（0,+ ）上的函数f(x)满足:（1）f(2)=1; (2) f(xy)=f(x)+f(y); (3) 当x y时，有f(x) f(y),若f(x)+f(x-3) 2,求x的取值范围。
2. 已知函数f(x)的定义域为R，且f( )=2,对任意m ,n 都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,当x 时，f(x) .
(1).求f(- )的值。
（2）求证f(x)在定义域R上是增函数。
函数单调性的应用
1.利用函数的单调性比较函数值的大小
例1 如果函数f(x)=x +bx+c,对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1)，f(2)，f(4)的大小。
例2 已知函数y=f(x)在［0,+ ）上是减函数，试比较f( )与f(a -a+1)的大小。
2.利用函数的单调性解不等式
例3 已知f(x)是定义在R上的单调函数，且f(x)的图像过点A(0,2),和点B(3,0)
（1）解方程 f(x)=f(1-x)
(2) 解不等式 f(2x) f(1+x)
(3) 求适合f(x) 2或f(x) 0的x的取值范围。
3．利用函数的单调性求参数的取值范围
已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题。这类问题能够加深对概念、性质的理解。
例3 已知f(x)=x -2(1-a)x+2在（- ，4）上是减函数，求实数a的取值范围。
例4 已知A＝［1,b］(b ),对于函数f(x)= (x-1) +1,若f(x)的定义域和值域都为A，求b的值。
练习：已知函数y=f(x)=-x +ax- + 在区间[0,1]上的最大值为2,求实数a的值。
求函数值域的一般方法
1.二次函数求最值，要注意数形结合
与二次函数有关的函数，可以用配方法求值域，但要注意函数的定义域。
例1：求函数y= 的最大值和最小值。
例2：求f(x)=x -2ax+x2,x ［-1,1］,求f(x)的最小值g(a).
g(a)=
2.形如y=ax+b 的形式，可用换元法，即设t＝ ，转化成二次函数再求值域，（注意新元t的范围t 0）
例3：求函数y=x+ 的值域。
3.形如y= (a )型的函数可借助反比例函数求其值域，这种方法也常被称为分离常数法。这种函数的值域为{y|y }
例4：求函数y= 的值域。
4.利用单调性求值域：当函数图像不好作或作不出来时，单调性成为求值域的首选方法。
例5：求函数f(x)= 在区间［2,5］上的最大值与最小值。
5. 分段函数的最值问题
分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数函数的最大或最小值，应该先求各段上的最值，再比较即得函数的最大、最小值。
例6：已知函数f(x)= 求f(x)的最大最小值。
函数的单调性与最值 第二课时
教学目标：
1. 使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用。
2. 启发学生学会分析问题，认识问题和创造性的解决问题。
3. 通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育。
新知探究
知识探究一
观察下列两个函数图像：
思考1：这两个函数图像有何共同特征：函数图像上最高点的纵坐标叫什么名称？
图像均有最高点，图像最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值。
思考2：高函数y=f(x)图像上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何？
对函数定义域内任意自变量x，均有f(x) M成立。
思考3：设函数f(x)=1- ,则f(x) 2成立吗？f(x)的最大值是2吗？为什么？
f(x) 2成立，但f(x)的最大值不是2,因为找不到一个自变量x.,使得f(x)=2成立
思考4：怎样定义函数f(x)的最大值？用什么符号表示？
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1） 对于任意的x I，都有f(x) M；
（2） 存在x I,使得f(x )=M.
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximum value）
思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？如果函数f(x)的值域是（a,b）,则函数f(x)存在最大值吗？
最大值是函数值域中的一个元素，函数图像上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图像上的点，因此若f(x)的值域是（a,b），则f(x)没有最大值。
知识探究二
观察下列两个函数图像：
思考1：这两个函数图像上各有一个最低点，函数图像上最低点的纵坐标叫什么名称？
函数图像上最低点的纵坐标称为函数的最小值。
思考2：仿照函数最大值的定义，怎样定义函数f(x)的最小值？
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（3） 对于任意的x I，都有f(x) M；
（4） 存在x I,使得f(x )=M.
那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimum value）
理论迁移
例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h米与时间t秒之间的关系为h(t )=-4.9t +14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1米）？
例2 已知函数f(x)= (x ［2,6］),求函数的最大值和最小值。
归纳基本初等函数的单调性及最值
1. 正比例函数：f(x)=kx(k 0)，当k 0时,f(x)在定义域R上为增函数；当k 0时,f(x)在定义域R上为减函数，在定义域R上不存在最值，在闭区间［a,b］上存在最值，当k 0时函数f(x)的最大值为f(b)=kb,最小值为f(a)=ka, 当k 0时, ,最大值为f(a)=ka，函数f(x)的最小值为f(b)=kb。
2. 反比例函数：f(x)= (k 0)，在定义域（- ，0） （0,+ ）上无单调性，也不存在最值。当k 0时，在（- ，0），（0,+ ）为减函数；当k 0时，在（- ，0），（0,+ ）为增函数。在闭区间［a,b］上，存在最值，当k 0时函数f(x)的最小值为f(b)= ,最大值为f(a)= , 当k 0时, 函数f(x)的最小值为f(a)= ，最大值为f(b)= 。
3. 一次函数：f(x)=kx+b(k 0),在定义域R上不存在最值，当k 0时，f(x)为R上的增，当k 0时，f(x)为R上的减函数，在闭区间［m,n］上，存在最值，当k 0时函数f(x)的最小值为f(m)=km+b,最大值为f(n)=kn+b, 当k 0时, 函数f(x)的最小值为f(n)=kn+b，最大值为f(m)=km+b。
4. 二次函数：f(x)=ax +bx+c,
当a 0时，f(x)在（- ,- ）为减函数，在（- ，+ ）为增函数，在定义域R上有最小值f( )= ,无最大值。
当a 0时，f(x)在（- ,- ）为增函数，在（- ，+ ）为减函数，在定义域R上有最大值f( )= ,无最小值。
二次函数是闭区间上的最值问题是高考考查重点和热点内容之一，我们将在后面的专题中具体讲解。
证明函数单调性作差中常用方法
例1 证明函数f(x)=x +x在R上是单调增函数。
配方法
例2 证明函数f（x）= - 在定义域上是减函数。
分子有理化
例3 讨论函数f(x)＝ 在x (-1,1)上的单调性，其中a为非零常数。
含字母参数时，要讨论参数范围
常用结论
例4 讨论函数f(x)= 的单调性。
总结：1.函数y=-f(x)与函数y=f(-x)的单调性相反。
2. .函数y=f(x)+c与函数y=f(x)的单调性相同。
3.当c 0时，函数y=cf(x)与函数y=f(x)的单调性相同，当c 0时，函数y=cf(x)与函数y=f(x)的单调性相反。
4.若f(x) 0,则函数f(x)与 具有相反的单调性。
5.若f(x) 0，则函数f(x)与 具有相同的单调性。
6.对于函数f(x)与g(x)可以总结为：
增+增＝增，增—减＝增，减+减＝减，减—增＝减
7.当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y=f［g(x)］是增函数；
当函数f(x)和g(x)的单调性相反时，复合函数y=f［g(x)］是减函数。
简称为口诀“同增异减”。
练习： 1．已知y=f(x)与y=g(x)均为增函数，判断下列函数在公共定义域内的单调性。
（1） y=-2f(x) （2） y=f(x)+2g(x)
2. 求函数y= + 的最小值。
抽象函数的单调性
没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，根据题目研究抽象函数的单调性，是一类重要的题型，证明抽象函数的单调性常用定义法；还有一类型的题目是利用抽象函数的单调性求参数范围。
例1 已知函数f(x)对任意x,y R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x 0时，f(x) 0,f(1)=-- ,.
(1) 求证f(x)在R上是减函数。
(2) 求f(x)在［-3，3］上的最大值和最小值。
例2 已知y=f(x)在定义域（-1,1）上是减函数，且f(1-a) f(a -1),求a的取值范围。
练习：
1. 定义域在（0,+ ）上的函数f(x)满足:（1）f(2)=1; (2) f(xy)=f(x)+f(y); (3) 当x y时，有f(x) f(y),若f(x)+f(x-3) 2,求x的取值范围。
2. 已知函数f(x)的定义域为R，且f( )=2,对任意m ,n 都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,当x 时，f(x) .
(1).求f(- )的值。
（2）求证f(x)在定义域R上是增函数。
函数单调性的应用
1.利用函数的单调性比较函数值的大小
例1 如果函数f(x)=x +bx+c,对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1)，f(2)，f(4)的大小。
例2 已知函数y=f(x)在［0,+ ）上是减函数，试比较f( )与f(a -a+1)的大小。
2.利用函数的单调性解不等式
例3 已知f(x)是定义在R上的单调函数，且f(x)的图像过点A(0,2),和点B(3,0)
（1）解方程 f(x)=f(1-x)
(2) 解不等式 f(2x) f(1+x)
(3) 求适合f(x) 2或f(x) 0的x的取值范围。
3．利用函数的单调性求参数的取值范围
已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题。这类问题能够加深对概念、性质的理解。
例3 已知f(x)=x -2(1-a)x+2在（- ，4）上是减函数，求实数a的取值范围。
例4 已知A＝［1,b］(b ),对于函数f(x)= (x-1) +1,若f(x)的定义域和值域都为A，求b的值。
练习：已知函数y=f(x)=-x +ax- + 在区间[0,1]上的最大值为2,求实数a的值。
求函数值域的一般方法
1.二次函数求最值，要注意数形结合
与二次函数有关的函数，可以用配方法求值域，但要注意函数的定义域。
例1：求函数y= 的最大值和最小值。
例2：求f(x)=x -2ax+x2,x ［-1,1］,求f(x)的最小值g(a).
g(a)=
2.形如y=ax+b 的形式，可用换元法，即设t＝ ，转化成二次函数再求值域，（注意新元t的范围t 0）
例3：求函数y=x+ 的值域。
3.形如y= (a )型的函数可借助反比例函数求其值域，这种方法也常被称为分离常数法。这种函数的值域为{y|y }
例4：求函数y= 的值域。
4.利用单调性求值域：当函数图像不好作或作不出来时，单调性成为求值域的首选方法。
例5：求函数f(x)= 在区间［2,5］上的最大值与最小值。
5. 分段函数的最值问题
分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数函数的最大或最小值，应该先求各段上的最值，再比较即得函数的最大、最小值。
例6：已知函数f(x)= 求f(x)的最大最小值。
