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新课改的高中数学怎么上

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1 新课改的高中数学怎么上 于 6/11/2009, 17:57

函数的单调性这些内容你都讲了吗?欢迎发表意见
函数的单调性与最值 第二课时
教学目标:
1. 使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的,它是函数单调性的应用。
2. 启发学生学会分析问题,认识问题和创造性的解决问题。
3. 通过渗透数形结合的数学思想,对学生进行辩证唯物主义的教育。
新知探究
知识探究一
观察下列两个函数图像:

思考1:这两个函数图像有何共同特征:函数图像上最高点的纵坐标叫什么名称?
图像均有最高点,图像最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值。
思考2:高函数y=f(x)图像上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何?
对函数定义域内任意自变量x,均有f(x) M成立。
思考3:设函数f(x)=1- ,则f(x) 2成立吗?f(x)的最大值是2吗?为什么?
f(x) 2成立,但f(x)的最大值不是2,因为找不到一个自变量x.,使得f(x)=2成立
思考4:怎样定义函数f(x)的最大值?用什么符号表示?
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1) 对于任意的x I,都有f(x) M;
(2) 存在x I,使得f(x )=M.
那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值(maximum value)
思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元素吗?如果函数f(x)的值域是(a,b),则函数f(x)存在最大值吗?
最大值是函数值域中的一个元素,函数图像上有最高点时,这个函数才存在最大值,最高点必须是函数图像上的点,因此若f(x)的值域是(a,b),则f(x)没有最大值。


知识探究二
观察下列两个函数图像:

思考1:这两个函数图像上各有一个最低点,函数图像上最低点的纵坐标叫什么名称?
函数图像上最低点的纵坐标称为函数的最小值。
思考2:仿照函数最大值的定义,怎样定义函数f(x)的最小值?
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(3) 对于任意的x I,都有f(x) M;
(4) 存在x I,使得f(x )=M.
那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值(minimum value)
理论迁移
例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h米与时间t秒之间的关系为h(t )=-4.9t +14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1米)?



例2 已知函数f(x)= (x [2,6]),求函数的最大值和最小值。



归纳基本初等函数的单调性及最值
1. 正比例函数:f(x)=kx(k 0),当k 0时,f(x)在定义域R上为增函数;当k 0时,f(x)在定义域R上为减函数,在定义域R上不存在最值,在闭区间[a,b]上存在最值,当k 0时函数f(x)的最大值为f(b)=kb,最小值为f(a)=ka, 当k 0时, ,最大值为f(a)=ka,函数f(x)的最小值为f(b)=kb。
2. 反比例函数:f(x)= (k 0),在定义域(- ,0) (0,+ )上无单调性,也不存在最值。当k 0时,在(- ,0),(0,+ )为减函数;当k 0时,在(- ,0),(0,+ )为增函数。在闭区间[a,b]上,存在最值,当k 0时函数f(x)的最小值为f(b)= ,最大值为f(a)= , 当k 0时, 函数f(x)的最小值为f(a)= ,最大值为f(b)= 。
3. 一次函数:f(x)=kx+b(k 0),在定义域R上不存在最值,当k 0时,f(x)为R上的增,当k 0时,f(x)为R上的减函数,在闭区间[m,n]上,存在最值,当k 0时函数f(x)的最小值为f(m)=km+b,最大值为f(n)=kn+b, 当k 0时, 函数f(x)的最小值为f(n)=kn+b,最大值为f(m)=km+b。
4. 二次函数:f(x)=ax +bx+c,
当a 0时,f(x)在(- ,- )为减函数,在(- ,+ )为增函数,在定义域R上有最小值f( )= ,无最大值。
当a 0时,f(x)在(- ,- )为增函数,在(- ,+ )为减函数,在定义域R上有最大值f( )= ,无最小值。
二次函数是闭区间上的最值问题是高考考查重点和热点内容之一,我们将在后面的专题中具体讲解。

证明函数单调性作差中常用方法
例1 证明函数f(x)=x +x在R上是单调增函数。
配方法



例2 证明函数f(x)= - 在定义域上是减函数。
分子有理化



例3 讨论函数f(x)= 在x (-1,1)上的单调性,其中a为非零常数。
含字母参数时,要讨论参数范围



常用结论
例4 讨论函数f(x)= 的单调性。
总结:1.函数y=-f(x)与函数y=f(-x)的单调性相反。
2. .函数y=f(x)+c与函数y=f(x)的单调性相同。
3.当c 0时,函数y=cf(x)与函数y=f(x)的单调性相同,当c 0时,函数y=cf(x)与函数y=f(x)的单调性相反。
4.若f(x) 0,则函数f(x)与 具有相反的单调性。
5.若f(x) 0,则函数f(x)与 具有相同的单调性。
6.对于函数f(x)与g(x)可以总结为:
增+增=增,增—减=增,减+减=减,减—增=减
7.当函数f(x)和g(x)的单调性相同时,复合函数y=f[g(x)]是增函数;
当函数f(x)和g(x)的单调性相反时,复合函数y=f[g(x)]是减函数。
简称为口诀“同增异减”。
练习: 1.已知y=f(x)与y=g(x)均为增函数,判断下列函数在公共定义域内的单调性。
(1) y=-2f(x) (2) y=f(x)+2g(x)
2. 求函数y= + 的最小值。

抽象函数的单调性
没有具体的函数解析式的函数,我们称为抽象函数,根据题目研究抽象函数的单调性,是一类重要的题型,证明抽象函数的单调性常用定义法;还有一类型的题目是利用抽象函数的单调性求参数范围。
例1 已知函数f(x)对任意x,y R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x 0时,f(x) 0,f(1)=-- ,.
(1) 求证f(x)在R上是减函数。
(2) 求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值。



例2 已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a) f(a -1),求a的取值范围。



练习:
1. 定义域在(0,+ )上的函数f(x)满足:(1)f(2)=1; (2) f(xy)=f(x)+f(y); (3) 当x y时,有f(x) f(y),若f(x)+f(x-3) 2,求x的取值范围。
2. 已知函数f(x)的定义域为R,且f( )=2,对任意m ,n 都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,当x 时,f(x) .
(1).求f(- )的值。
(2)求证f(x)在定义域R上是增函数。




函数单调性的应用
1.利用函数的单调性比较函数值的大小
例1 如果函数f(x)=x +bx+c,对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1),f(2),f(4)的大小。
例2 已知函数y=f(x)在[0,+ )上是减函数,试比较f( )与f(a -a+1)的大小。
2.利用函数的单调性解不等式
例3 已知f(x)是定义在R上的单调函数,且f(x)的图像过点A(0,2),和点B(3,0)
(1)解方程 f(x)=f(1-x)
(2) 解不等式 f(2x) f(1+x)
(3) 求适合f(x) 2或f(x) 0的x的取值范围。


3.利用函数的单调性求参数的取值范围
已知函数的单调性,求函数解析式中参数的范围,是函数单调性的逆向思维问题。这类问题能够加深对概念、性质的理解。
例3 已知f(x)=x -2(1-a)x+2在(- ,4)上是减函数,求实数a的取值范围。

例4 已知A=[1,b](b ),对于函数f(x)= (x-1) +1,若f(x)的定义域和值域都为A,求b的值。

练习:已知函数y=f(x)=-x +ax- + 在区间[0,1]上的最大值为2,求实数a的值。


求函数值域的一般方法
1.二次函数求最值,要注意数形结合
与二次函数有关的函数,可以用配方法求值域,但要注意函数的定义域。
例1:求函数y= 的最大值和最小值。

例2:求f(x)=x -2ax+x2,x [-1,1],求f(x)的最小值g(a).
g(a)=

2.形如y=ax+b 的形式,可用换元法,即设t= ,转化成二次函数再求值域,(注意新元t的范围t 0)
例3:求函数y=x+ 的值域。

3.形如y= (a )型的函数可借助反比例函数求其值域,这种方法也常被称为分离常数法。这种函数的值域为{y|y }
例4:求函数y= 的值域。

4.利用单调性求值域:当函数图像不好作或作不出来时,单调性成为求值域的首选方法。
例5:求函数f(x)= 在区间[2,5]上的最大值与最小值。



5. 分段函数的最值问题
分段函数的最大值为各段上最大值的最大者,最小值为各段上最小值的最小者,故求分段函数函数的最大或最小值,应该先求各段上的最值,再比较即得函数的最大、最小值。
例6:已知函数f(x)= 求f(x)的最大最小值。

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